1 . 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
．教学楼的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．

(2)小李获得了以下信息：
．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．

2 . 假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位．

(1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由．
(2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由．

3 . 已知为虚数单位，复数满足．
(1)若，求复数的辐角主值；
(2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
(3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围．

4 . 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.

5 . 已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
(1)记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；
(2)设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.

6 . 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.

7 . 若均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则的取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.

8 . 平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为______.

9 . 已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、.

10 . 由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为___________.