名校
1 . 已知函数
．
(1)判断并证明
的零点个数
(2)记在
上的零点为
，求证;
（i）
是一个递减数列
（ii）
．
．(1)判断并证明
的零点个数(2)记
在上的零点为，求证;（i）
是一个递减数列（ii）
．
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2 . 已知动圆
过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知
、
两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为
，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、
，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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3 . 已知正项数列
的前
项和为
，
.
(1)记
，证明：数列
的前项和
；
(2)若
，求证：数列
为等差数列，并求的通项公式.
的前项和为，.(1)记
，证明：数列的前项和；(2)若
，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
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2023-08-29更新
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806次组卷
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3卷引用：湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第三次月考数学试题
4 . 已知双曲线的方程为
，虚轴长为2，点
在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点
的直线与交于
两点，已知直线
和直线
的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点
的直线交双曲线于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，求证：的中点为定点.
的方程为，虚轴长为2，点在上.(1)求双曲线
的方程；(2)过原点
的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；(3)过点
的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.
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2024-03-03更新
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1544次组卷
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6卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题
5 . 如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以
为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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6 . 在平面直角坐标系
中，P，Q是抛物线
上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线
与l的斜率乘积为
．
(1)求证：直线
过定点，并求此定点D的坐标；(2)过M作l的垂线交椭圆
于A，B两点，过D作l的平行线交直线
于H，记
的面积为S，
的面积为T．①当
取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使
为定值．
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2023-05-08更新
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934次组卷
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5卷引用：湖南省株洲市第二中学2022届高三下学期第三次月考数学试题
湖南省株洲市第二中学2022届高三下学期第三次月考数学试题山东省烟台市2023届高考适应性练习（一)数学试题山东省枣庄市2023届高三三模数学试题（已下线）高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十二大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）通关练17 抛物线8考点精练（3）
名校
7 . 已知函数
．
(1)证明函数
有唯一极小值点；
(2)若
，求证：
．
．(1)证明函数
有唯一极小值点；(2)若
，求证：．
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2023-02-10更新
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888次组卷
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6卷引用：湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题黑龙江省七台河市勃利县高级中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题广东省东莞市海德实验学校2022-2023学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（已下线）拓展五：利用导数证明不等式的9种方法总结-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）新疆乌鲁木齐市第十二中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
解题方法
8 . 已知直三棱柱
中，E，F分别为棱
和
的中点，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面EFC所成角的正弦值为
且
，证明：平面
平面EFC.
中，E，F分别为棱和的中点，，，.(1)求证：平面
平面；(2)若直线
与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面EFC.
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名校
解题方法
9 . 在
中， 角
的对边分别为
， 若
．
(1)求证：
；
(2)对
， 请你给出一个的值， 使不等式
成立或不成立，并证明你的结论．
中， 角的对边分别为， 若．(1)求证：
；(2)对
， 请你给出一个的值， 使不等式成立或不成立，并证明你的结论．
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名校
10 . 设函数
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)曲线与直线
交于
，
两点，求证：
；
(3)证明：
.
.(1)当
时，讨论函数的单调性；(2)曲线
与直线交于，两点，求证：；(3)证明：
.
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