1 . 如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点．
   
(1)若平面，证明：是的中点．
(2)线段上存在点，使得，求到平面PAD的距离．

2 . 已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.

3 . 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
   
(1)证明：BDCC₁；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

4 . 已知函数是定义域在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

5 . 设两个非零向量，不共线．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若与共线，求的值．

6 . 已知函数，，且曲线在点处的切线斜率均不小于2．
(1)求a的值；
(2)求证：函数在区间内存在唯一的零点．

7 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，，E为PD的中点．

(1)求证：平面AEC；
(2)求与平面所成角的正弦值．

8 . 若函数有两个零点，且．
(1)求a的取值范围；
(2)若在和处的切线交于点，求证：．

9 . 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．

(1)求证：；
(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，．

(1)证明：平面BCD．
(2)求点D到平面的距离．