1 . 定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
(2)①求有序数组、、、的波动距离；
②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.

2 . 已知双曲线C：的中心为O，离心率，点A在x轴上，，点P是C上一定点，P到x轴的距离为1，且．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求C上任一点和A的距离的最小值；
(3)若C上的点M，N满足，求证：在C上存在定点Q（异于P）使得P，M，N，Q在同一个圆上．

3 . 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．

4 . 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值，求．

5 . 设是正整数，
(1)求证：当时，
(2)求证：当时，

6 . 设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1”
(1)分别判断和时是否满足“性质1”;
(2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得.
(3)求出所有满足“性质1”的实数t

7 . 已知，.
(1)求方程的根的个数；
(2)证明：.

8 . 过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．

9 . 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S₁，S₂，S₃之间的关系问题”进行了以下探究：
(1)（类比探究）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S₁，S₂，S₃之间的关系式为　　　；
(2)（推广验证）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)（拓展应用）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．

10 . 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．