名校
解题方法
1 . 数列
：
，
，…，
满足：
，
，
或1（
，2，…，
），对任意i，j，都存在s，t，使得
，其中
且两两不相等．
(1)若
，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记
，若
，证明：
；
(3)若
，求n的最小值．
：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．(1)若
，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记
，若，证明：；(3)若
，求n的最小值．
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2023-08-05更新
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851次组卷
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5卷引用：北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
名校
2 . 设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为
阶“Q数列”：
①
；②
．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为
，求证
．
,,…,为阶“Q数列”：①
；②．(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为
，求证．
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名校
解题方法
3 . 已知点
为椭圆C：
上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且
的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点
的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记
，
分别为
，
（点O为坐标原点）的面积，证明：
为定值．
为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．(1)求C的标准方程；
(2)过点
的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记，分别为，（点O为坐标原点）的面积，证明：为定值．
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2022-12-14更新
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754次组卷
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2卷引用：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学练习试题
名校
解题方法
4 . 椭圆
的离心率是
，点
是椭圆
上一点，过点
的动直线
与椭圆相交于
两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线的斜率为1时，求
的面积；
(3)在平面直角坐标系
中，是否存在与点
不同的定点
，使
恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆
的方程；(2)当直线
的斜率为1时，求的面积；(3)在平面直角坐标系
中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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2022-12-05更新
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825次组卷
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5卷引用：北京市第二中学2022-2023学年高二上学期11月学段考试数学试题
北京市第二中学2022-2023学年高二上学期11月学段考试数学试题上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题11圆锥曲线单元复习与测试（21个考点25种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）（已下线）专题09 椭圆中定点定值定线四种考法-【常考压轴题】（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21
名校
5 . 已知圆
及点
和点
．
(1)经过点M的直线l交圆O于C、D两不同点，直线
不过圆心，过点C、D分别作圆O的切线，两切线交于点E，求证：点E恒在一条定直线上；
(2)设P为满足方程
的任意一点，过点P作圆O的一条切线，切点为B．在平面内是否存在一点Q，使得
为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，说明理由．
及点和点．(1)经过点M的直线l交圆O于C、D两不同点，直线
不过圆心，过点C、D分别作圆O的切线，两切线交于点E，求证：点E恒在一条定直线上；(2)设P为满足方程
的任意一点，过点P作圆O的一条切线，切点为B．在平面内是否存在一点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，说明理由．
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2022-12-01更新
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1054次组卷
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2卷引用：北京市中国人民大学附附属中学2022-2023学年高二上学期数学统练试题（3）
名校
解题方法
6 . 设A是非空实数集，且
．若对于任意的
，都有
，则称集合A具有性质
；若对于任意的，都有
，则称集合A具有性质
．
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质；
(3)设全集
，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合
具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质．(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质
的集合A；(2)若非空实数集A具有性质
，求证：集合A具有性质；(3)设全集
，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
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2022-11-17更新
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805次组卷
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7卷引用：北京市东城区2021-2022学年高二下学期期末统一检测数学试题
北京市东城区2021-2022学年高二下学期期末统一检测数学试题北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）专题01集合与逻辑（15个考点）（1）（已下线）专题1.8 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列（已下线）重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法）（1）（已下线）专题03集合的运算1-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
7 . 对于向量
，若
三个实数互不相等，令向量
，其中
，
，
，（
）.
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：对于
，向量
中的三个实数
至多有一个为0；
(3)若
，证明：
，
.
，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：对于
，向量中的三个实数至多有一个为0；(3)若
，证明：，.
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8 . 已知数列
，
，…，
的各项均为整数，且对任意的
，2，…，
，都有
．将A的所有项之和记为
．
(1)若
，
，求的最大值；
(2)若
，求证：
；
(3)设
．将所有符合题意且
的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．
，，…，的各项均为整数，且对任意的，2，…，，都有．将A的所有项之和记为．(1)若
，，求的最大值；(2)若
，求证：；(3)设
．将所有符合题意且的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．
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2022-10-24更新
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692次组卷
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2卷引用：北京市清华大学附属中学2022－2023学年高二上学期10月统练数学试题(1)
名校
解题方法
9 . 设
和
是两个等差数列，记
，其中
表示
这s个数中最小的数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，证明
是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数，使得
是等差数列．
和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最小的数．(1)若
，求的值；(2)若
，证明是等差数列；(3)证明：或者对任意实数
，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
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2022-08-29更新
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433次组卷
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2卷引用：北京市第五中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
10 . 给定数列｛an｝，若数列｛cn｝满足：对｛an｝中任意相邻的两项an和an+1，均存在某项cm，使得
≤0，则称｛cn｝是｛an｝的“分隔数列”.
(1)已知｛an｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛an｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10 ②0，5，8 ③1，7，5
（ii）设｛cn｝是｛an｝的项数为3的“分隔数列”，且｛cn｝各项均为整数，则所有满足条件的｛cn｝的个数为_________.
(2)已知｛an｝为递增的无穷等比数列，a1＝1，Tn是｛an｝的前n项和，若数列｛Tn｝是｛an｝的分隔数列，求｛an｝的公比q的取值范围：
(3)是否存在无穷等差数列｛an｝，Sn是｛an｝的前n项和，使得数列｛Sn｝是｛an｝的分隔数列？说明理由.
≤0，则称｛cn｝是｛an｝的“分隔数列”.(1)已知｛an｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛an｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10 ②0，5，8 ③1，7，5
（ii）设｛cn｝是｛an｝的项数为3的“分隔数列”，且｛cn｝各项均为整数，则所有满足条件的｛cn｝的个数为_________.
(2)已知｛an｝为递增的无穷等比数列，a1＝1，Tn是｛an｝的前n项和，若数列｛Tn｝是｛an｝的分隔数列，求｛an｝的公比q的取值范围：
(3)是否存在无穷等差数列｛an｝，Sn是｛an｝的前n项和，使得数列｛Sn｝是｛an｝的分隔数列？说明理由.
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