高中数学综合库练习题及答案-福建高中数学-特供-组卷网

23-24高一上·福建宁德·期末

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

判断指数函数的单调性辅助角公式函数新定义函数不等式恒成立问题

名校

解题方法

单调性法求函数值域作差法比较大小

1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程

，其中

为参数.当

时，就是双曲余弦函数

，类似地我们可以定义双曲正弦函数

.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:

_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)

，不等式

恒成立，求实数

的取值范围；
(3)若

，试比较

与

的大小关系，并证明你的结论.

2024-01-27更新 | 912次组卷 | 7卷引用：福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

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23-24高三上·江苏盐城·期中

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

利用导数证明不等式由递推关系式求通项公式求等差数列前n项和数列不等式恒成立问题

名校

解题方法

累加法求数列通项等差等比公式法

2 . “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”

的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且

满足

其中

.
(1)求

（用

表示）；
(2)设数列

满足：

其中

，

是

的前

项的积，求证：

，

.

2023-11-11更新 | 1155次组卷 | 4卷引用：福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷

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2023·江苏盐城·模拟预测

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

根据a、b、c求椭圆标准方程椭圆中向量共线比例问题平面解析几何

名校

解题方法

向量共线问题

3 . 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率

等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系

中，椭圆

：

的面积为

，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点

的直线

与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线

交于点F，试证明B，Q，F三点共线.

2023-06-07更新 | 1255次组卷 | 10卷引用：福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

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2021高二上·广西·学业考试

解答题-证明题 | 较易(0.85) |

证明线面平行线面垂直证明线线垂直

名校

解题方法

证明线线、线面平行的方法证明线线、线面垂直的方法

4 . 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马

中，

平面

，

为

的中点.

(1)求证：

平面

；
(2)若

，求证：

.

2023-02-26更新 | 1134次组卷 | 4卷引用：福建省福州延安中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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22-23高一上·福建泉州·期末

填空题-双空题 | 较易(0.85) |

分式不等式函数新定义函数与导数

5 . 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数

，其中

表示“不超过x的最大整数”，如

，

．写出满足

的一个x的值__________；关于x的方程

的解集为__________．

2023-02-25更新 | 253次组卷 | 2卷引用：福建省泉州市2022-2023学年高一上学期期末教学质量监测数学试题

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22-23高一下·四川成都·期中

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

三角函数综合利用定义求某角的三角函数值余弦定理解三角形三角函数与解三角形

名校

解题方法

数形结合思想

6 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角

（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

(1)若在某次测量中，横档

的长度为20，测得太阳高度角

，求影子AE的长；
(2)若在另一次测量中，

，横档

的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
(3)在杆AB上有两点

，

满足

.当横档CD的中点E位于

时，记太阳高度角为

，其中

，

都是锐角.证明：

.

2023-04-26更新 | 1441次组卷 | 6卷引用：福建省厦门第一中学海沧校区2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题

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2023·福建三明·三模

单选题 | 容易(0.94) |

对数的运算性质的应用

名校

7 . 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对

（

为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在

的素数中，当

，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，

是素数，其它都是合数.除了

和

两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在

型素数研究中所做的开创性工作，就把

型的素数称为“梅森素数”，记为

.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数

，第8个梅森素数

，则

约等于（参考数据：

）（）

A．17.1

B．8.4

C．6.6

D．3.6

2023-08-11更新 | 861次组卷 | 5卷引用：福建省三明市2023届高三三模数学试题

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21-22高三下·福建厦门·阶段练习

单选题 | 较易(0.85) |

球的结构特征辨析空间向量与立体几何

名校

8 . 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）