1 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知函数，
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项;
(3)证明:

3 . 若，，（n＝1，2，…）．
（1）求证：；
（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

4 . 已知函数在上是增函数..
(1)求证:如果,那么;
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

5 . 在用反证法证明“已知，求证：”时的反设为__________，得出的矛盾为________.

6 . （1）当时，试用分析法证明：；
（2）已知，.求证：中至少有一个不小于0.

7 . 设数列满足且对一切，有．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）求数列的通项公式；
（4）设，求证：．

9 . 已知函数.
(1)若函数在处有极小值，求的值；
(2)当时，求证.

10 . 已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．