名校
1 . 设
，
，
，则（ ）
，，，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
2 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
阶导数指对一个函数进行次求导，
表示的2阶导数，即为
的导数，
表示的阶导数，
为自然对数的底数，
，该公式也称麦克劳林公式．设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)利用泰勒公式求
的近似值；（精确到小数点后两位）
(2)设
，证明：
；
(3)证明：
（为奇数）．
在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)利用泰勒公式求
的近似值；（精确到小数点后两位）(2)设
，证明：；(3)证明：
（为奇数）．
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名校
3 . 为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ）
| A．2.6 | B．3 | C．3.4 | D．4.1 |
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名校
4 . 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面，
，点
是
的中点，
于点
．
平面
；
(2)求二面角
的正切值．
中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点．
平面；(2)求二面角
的正切值．
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名校
5 . 在三棱锥
中，
平面
，
，
为边长等于
的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
6 . 已知数列
的前项和为
，
，
，且
.
(1)证明：数列
是等差数列.
(2)求的通项公式.
(3)若
，数列
的前项和为
，证明：
.
的前项和为，，，且.(1)证明：数列
是等差数列.(2)求
的通项公式.(3)若
，数列的前项和为，证明：.
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2024-05-25更新
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1236次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
7 . 京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.
(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用
表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.
(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?
(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用
表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?
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2024-05-25更新
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429次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 做一个容积为
的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______ 
，表面积为______ 
.
的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为，表面积为.
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2024-05-25更新
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181次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
9 . 已知函数
（
，
），且曲线
在点
处的切线经过点
.
(1)求
；
(2)求的单调区间；
(3)若
，
，证明：
.
（，），且曲线在点处的切线经过点.(1)求
；(2)求
的单调区间；(3)若
，，证明：.
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2024-05-25更新
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171次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
10 . 边长为2个单位长度的正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形
，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形
，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图
，则（ ）
如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（ ）
| A．图3中矩形的个数为11 |
| B．图4中矩形的个数为19 |
| C．图10中矩形的个数为81 |
| D．图1至图20中所有知形的个数之和为1732 |
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2024-05-25更新
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189次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
