1 . 已知各项均为正数的数列、满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记，且数列的前项和为，求证：.

2 . 如图，直三棱柱中，O是与的交点，是的中点．

(1)证明:平面；
(2)若侧面是正方形，，求证：平面平面．

3 . 已知数列前项的和为，满足，，（）．
(1)用数学归纳法证明：（）；
(2)求证：（）．

4 . 已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．

5 . 如图，在四棱台中，底面为矩形，，，，．E为靠近D点的三等分点，平面与直线交于点P，连接交于O点．

（1）求证：；
（2）若F为的三等分点(靠近B点)，请在线段上确定一点Q，使平面，并证明之．

6 . 若，，（n＝1，2，…）．
（1）求证：；
（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

7 . 已知函数.
（1）当时，证明：有唯一零点；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：.

8 . 已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.

（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.
①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；
②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.

9 . 已知数列满足：，（）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求证：．

10 . 在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；
（ⅱ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列的前n项和为，证明：，．