1 . 已知函数，其中，，函数，其中为自然对数的底数.
（I）判断函数的单调性；
（II）设， 是函数的两个零点，求证：；
（III）当，时，试比较与的大小并证明你的结论.

2 . 已知函数，其中
(1)若，记，试判断在上的单调性；
(2)求证:当时，；
(3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为、，是椭圆上一点，，.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为线段中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上.

4 . 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

   

(1)求证：；
(2)若是边长为2的等边三角形，点满足，且平面与平面夹角的正切值为，求三棱锥的体积.

5 . 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

奖项组别	个人赛			团体赛获奖
	一等奖	二等奖	三等奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）

6 . 已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，.

7 . 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.

8 . 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．

(1)求证：面面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．

9 . 已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．

10 . 已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令
（ⅰ）证明：当时，；
（ⅱ）若数列满足：，，证明：．