1 . 已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．

2 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.

3 . 如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点.
   
(1)在线段上找一点，使得直线平面，并证明你的结论；
(2)若，求二面角的余弦值.

4 . 如图，直三棱柱中，，点在线段上，且点为的重心，．
   
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积．

5 . 已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点．

6 . 如图，在几何体中，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，且平面平面，，分别是的中点．

   

(1)证明：;
(2)若点到平面的距离是，求与平面所成的线面角的正弦值．

7 . 已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．

8 . 如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面分别是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的表面积．

9 . 已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且，设数列的前n项和为，求证：.

10 . 已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且．
（ⅰ）证明：三点共线；
（ⅱ）求外接圆直径的最大值．