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2021·全国·高考真题
解答题-证明题 | 较易(0.85) |
由递推关系证明数列是等差数列
真题
1 . 记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
2021-06-07更新 | 26403次组卷 | 38卷引用：2021年全国高考甲卷数学（文）试题
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2020·全国·高考真题
解答题-证明题 | 较难(0.4) |
证明线面平行 求线面角 证明面面垂直
真题 名校
解题方法
证明面面垂直的方法 定义法或几何法求线线、线面、面面角
2 . 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
2020-07-08更新 | 35198次组卷 | 72卷引用：2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
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2019·全国·高考真题
解答题-证明题 | 适中(0.65) |
由递推关系证明数列是等差数列 由递推关系证明等比数列
真题 名校
解题方法
定义法判断等差数列 定义法判断等比数列

3 . 已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

2019-06-09更新 | 45930次组卷 | 80卷引用：2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
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2024·河南·模拟预测
解答题-证明题 | 适中(0.65) |
证明线面垂直 面面角的向量求法
名校
解题方法
向量法求线线、线面、面面角 证明线线、线面垂直的方法
4 . 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
2024-01-19更新 | 7224次组卷 | 9卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题
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2019·全国·高考真题
解答题-证明题 | 适中(0.65) |
证明线面平行 面面角的向量求法
真题 名校
解题方法
向量法求线线、线面、面面角 证明线线、线面平行的方法
5 . 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
2019-06-09更新 | 45694次组卷 | 88卷引用：2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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2020·全国·高考真题
解答题-证明题 | 较难(0.4) |
利用导数求函数的单调区间（不含参） 利用导数研究能成立问题
真题 名校
解题方法
利用导数证明或求解函数单调区间（不含参） 利用导数求解函数的最值
6 . 已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
2020-07-08更新 | 33230次组卷 | 66卷引用：2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
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2020·全国·高考真题
解答题-证明题 | 适中(0.65) |
平面的基本性质及辨析 求二面角
真题 名校
解题方法
向量法求线线、线面、面面角
7 . 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
2020-07-08更新 | 33330次组卷 | 77卷引用：2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
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2024·河南·模拟预测
解答题-证明题 | 较难(0.4) |
抛物线中的三角形或四边形面积问题 抛物线中的直线过定点问题
名校
解题方法
面积问题 定点问题
8 . 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
2024-01-19更新 | 6814次组卷 | 8卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题
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2024·河南·模拟预测
解答题-证明题 | 困难(0.15) |
同余及孙子定理 素数和合数 费马小定理及欧拉定理 裴蜀定理
解题方法
探究性试题
9 . 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
(1)若，求；
(2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
(3)已知．对，令．证明：．
2024-01-19更新 | 6276次组卷 | 8卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题
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2019·全国·高考真题
解答题-证明题 | 较难(0.4) |
利用导数研究函数的零点
真题 名校
解题方法
利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题
10 . 已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

2019-06-09更新 | 39389次组卷 | 68卷引用：2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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