1 . 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：．

2 . 已知是自然对数的底数，.
(1)若是偶函数，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数；
(3)在（1）（2）的条件下解不等式

3 . （1）已知，，求的值.
（2）设为正实数，已知，
求①的值；②的值.

4 . （1）已知集合，，求集合、
（2）已知，求函数的最小值及此时的取值

5 . 如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使.

(1)证明：平面；
(2)求几何体的体积.

6 . 已知离散型随机变量的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求随机变量的分布列及方差．

7 . 已知函数，．
(1)若在上不单调，求的取值范围；
(2)当时，试讨论的零点个数．

8 . 已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，数列的前项和为，若，求正整数的最小值．

9 . 《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行.该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远.某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数；
(2)在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差.

10 . 设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.
(1)判断，是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.