1 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极大值,求实数的取值范围:
(3)已知,曲线在不同的三点处的切线都经过点,且,当时,证明:.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极大值,求实数的取值范围:
(3)已知,曲线在不同的三点处的切线都经过点,且,当时,证明:.
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2 . 已知数列满足对任意的,均有,且,,数列为等差数列,且满足,.
(1)求,的通项公式;
(2)设集合,记为集合中的元素个数.
①设,求的前项和;
②求证:,.
(1)求,的通项公式;
(2)设集合,记为集合中的元素个数.
①设,求的前项和;
②求证:,.
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3 . 已知椭圆的左右顶点为A,B,上顶点与两焦点构成等边三角形,右焦点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作斜率为的直线与椭圆交于点,过作l的平行线与椭圆交于P,Q两点,与线段BM交于点,若,求.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作斜率为的直线与椭圆交于点,过作l的平行线与椭圆交于P,Q两点,与线段BM交于点,若,求.
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解题方法
4 . 已知函数 (),.
(1)求函数的极值;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:时,.
(1)求函数的极值;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:时,.
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5 . 已知函数.
(1)讨论的单调区间;
(2)已知,设的两个极值点为,且存在,使得的图象与有三个公共点;
①求证:;
②求证:.
(1)讨论的单调区间;
(2)已知,设的两个极值点为,且存在,使得的图象与有三个公共点;
①求证:;
②求证:.
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6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,直线是曲线的切线,求的最小值;
(3)若方程有两个实数根.证明:
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,直线是曲线的切线,求的最小值;
(3)若方程有两个实数根.证明:
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7 . 意大利画家达芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”,通过适当建立坐标系,悬链线可为双曲余弦函数的图象,定义双曲正弦函数,类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系:,②倍元关系:.
(1)求曲线在处的切线斜率;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围:
(3)(i)证明:当时,;
(ii)证明:.
(1)求曲线在处的切线斜率;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围:
(3)(i)证明:当时,;
(ii)证明:.
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8 . 已知,a为函数的极值点,直线l过点,
(1)求的解析式及单调区间:
(2)证明:直线l与曲线交于另一点C:
(3)若,求n.(参考数据:,)
(1)求的解析式及单调区间:
(2)证明:直线l与曲线交于另一点C:
(3)若,求n.(参考数据:,)
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9 . 在正项等比数列中,.
(1)求的通项公式:
(2)已知函数,数列满足:.
(i)求证:数列为等差数列,并求的通项公式
(ii)设,证明:,
(1)求的通项公式:
(2)已知函数,数列满足:.
(i)求证:数列为等差数列,并求的通项公式
(ii)设,证明:,
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10 . 已知函数,(为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间:
(2)设在处的切线方程为,求证:当时,;
(3)若,存在,使得,且,求证:当时,.
(1)求函数的单调区间:
(2)设在处的切线方程为,求证:当时,;
(3)若,存在,使得,且,求证:当时,.
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