1 . 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点.证明：
（i）；
（ii）.

2 . 如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．

（Ⅰ）设线段的中点为；
（ⅰ）求证：平行于轴；
（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数．
（1）当时，求曲线与曲线的公切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，求证：关于的方程有唯一解．

4 . 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.

5 . 已知函数，，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.

6 . 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）当时，求证：.

7 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.

8 . 已知.
（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；
（2）试讨论函数零点的个数.

9 . 已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)当时，讨论函数的单调性;
(2)当时，求证:对任意的.

10 . 已知函数（）．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
(2)若对任意，都有，求的取值范围．