1 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
(1)设，为虚数单位，求，，；
(2)设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.

2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

3 . 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．

4 . 一 测量学校内､外建筑物的高度项目的过程性评价
[目的] 给出过程性评价，体现如何让学生在交流过程中展现个性､学会交流､归纳总结，发现问题､积累经验､提升素养．
[评价过程] 在每一个学生都完成“测量报告”后，安排交流讲评活动．安排讲评的报告应当有所侧重．例如，测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等．事实表明，这种形式的交流讲评，往往是数学建模过程中学生收获最大的环节．
附件：某个小组的研究报告的展示片段摘录．
测量不可及“理想大厦”的方法
1．两次测角法
（1）测量并记录测量工具距离地面h m；
（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；
（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β；
（4）楼高x的计算公式为：
x=+h，
其中α，β，a，h如图所示．

两次测角法示意图
2．镜面反射法
（1）将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；
（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；
（3）楼高x的计算公式为x=，其中a₁，a₂是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示．根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式．

镜面反射法示意图
实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析．
（1）两次测角法
实际测量数据：

	第一次	第二次
仰角	67°	52°

后退距离为25 m，人的“眼高”为1．5 m，计算可得理想大厦的高度约为71．5 m，结果与期望值(70 m~80 m)相差不大．误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确．减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小．
（2）镜面反射法
实际测量数据：

	第一次	第二次
人与镜子的距离	3．84 m	3．91 m

镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1．52 m．计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大．
产生误差有以下几点原因：
镜面放置不能保持水平；
两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；
人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点；
人体不一定在两次测量时保证高度不变．
综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小，我们准备用更多的测量方法找出理想的结果．
对上面的测量报告，教师和同学给出评价．例如，对测量方法，教师和同学评价均为“优”，因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法；对测量结果，教师评价为“良”，同学评价为“中”，因为两种方法得到的结果相差较大．
对测量结果的评价，教师和同学产生差异的原因是，教师对测量过程的部分项目实施加分，包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析；同学则进一步分析产生误差的主要原因，包括：
（1）测量工具问题．两次测角法的同学，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；镜面反射法的同学，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差．
（2）间距差的问题．这是一个普遍的问题．间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m．由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差．当学生意识到了这个问题后，他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a，使得测量精度得到较大提高．
（3）不少学生用自己的身高代替“眼高”，反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度，如照片所示．
在结题交流过程中，教师通过测量的现场照片，引导学生发现问题，让学生分析测量误差产生的原因．学生们在活动中意识到，书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式．
测量现场的照片和观察说明：

照片	说明
	测量角的工具(量角器)太小，造成仰角的测量误差很大． 用腕尺法测量时，腕尺应与地面垂直，手臂水平，否则就没有相似的直角三角形． 用镜子反射法时，要保持镜面水平，否则入射三角形和反射三角形就不相似．
	测量仰角的工具好：把一个量角器放在复印机上放大4倍复印．在中心处绑上一个铅垂，这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出，这个角是待测仰角的余角．
	测量工具好：用自行车来测距离，解决了皮尺长度不够的问题．

[分析] 建模活动的评价要关注结果，更要关注过程．
对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%，主要由教师作评价．评价依据是现场观察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有：
（1）测量模型是否有效；
（2）计算过程是否清晰准确，测量结果是否可以接受；
（3）测量工具是否合理､有效；
（4）有创意的测量方法(可获加分)；
（5）能减少测量误差的思考和做法(可获加分)；
（6）有数据处理的意识和做法(可获加分)；
……
非数学的评价可以占总评价的40%，主要评价点有：
（1）每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态；
（2）测量过程中解决困难的机智和办法；
（3）讨论发言､成果汇报中的表现等．
非数学的评价主要是在同学之间进行，可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩，并写出评价的简单理由．
二 黄金数的应用
班   级：高三(   )班
指导老师：
组   长：
组   员：
研究背景：黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．我们在数学､物理､化学､生物及美学中都存在很多的最好､最优化的问题，如何实现最优化从而达到我们的要求，使得我们在各方面都能取得很好的成绩．
研究目的和意义：
1．培养学生对数学的学习兴趣；
2．提高学习的查找､分析､集中能力；
3．拓宽学生的知识面，感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神；
4．通过集体配合较好完成对本课题的研究，增加同学间团结合作的精神．
研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告．
研究步骤：查阅资料､实际调查､计算､总结．
预期成果：在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究．从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．
研究结果：
一､黄金数的发展“历史”
黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的．一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密．他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系．回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段．怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1∶0．618的比例截断最优美．
0．618在数学中叫黄金比值，又称黄金数．这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称．其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比，如五角星等．
代数上也有许多黄金数的知识，其中最有名的裴波那契数列，也就是1，1，3，5，8，13，21，34，55，89…，或许大家要问这里面没有黄金数啊，其实如果用前一项比后一项，它的比值将会在0．618上下波动，如果你有兴趣还可以算下去，最后你还会得到一个数，一个无限接近于黄金数的比值，不信你可以试一试．
二､黄金数的广泛应用
1．艺术中的黄金数
“0．618”，这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体．在美术史上曾经把它作为经典法则来应用．有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著．例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》､拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值．
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系．例如照相机的片窗比例：135相机就是24×36即2∶3的比例，这是很典型的．只要我们翻开影集看一看，就会发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比例．
2．饮食､生活作息中的黄金数
“黄金分割”的比值为0．618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数．日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素．在他们的膳食中，谷物､素菜､优质蛋白､碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值．
医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病．
还有喝5杯水．人体内的水分占体重的61．8%，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2 500毫升．其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升，大约占61．8%．其余1 000毫升需要补充，才能保持水平衡．因此，每人一天要喝5杯水．
一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道．掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量．
3．植物中的黄金数
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界．
尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的．你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137．5°．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137．5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光､通风都是最佳的．叶子的排布，多么精巧叶子间的137．5°中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137．5°=222．5°，137．5°∶222．5°≈0．618．瞧，这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0．618．
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的．
4．建筑中的黄金数
世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”．遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分割的法则，给人以整体上的和谐与悦目之美．
举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子，神庙外部呈长方形，长228英尺，宽101英尺，有46根多立克式环列圆柱构成柱廊．
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异．但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0．618，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在现代建筑中，一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致．如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔､当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553．33米)，都是根据黄金分割的原则来建造的．上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米．为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体､下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化．更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果．
三､开展生活中实际调查的研究及成果
经过我们的讨论，我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数．
1．下面就是我们实地测量结果的统计表格，从中我们发现其实黄金数就在我们的身边．只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近!在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣，生活中处处都应用着数学的知识．

物品	宽(cm)	长(cm)	比值
教室墙体砖块	18	29	0．621
一片叶子	0．9	104	0．6428
学生	92	150	0．613
安中学生证	6．1	10	0．61
安中校园雕像	51	83	0．614
安中课桌	40	65	0．615

2．在实地调查､相关问题的访问､同学们之间互相交流讨论后，我们从中获得了不少的生活小知识．
如（1）报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？
答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0．618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播得最好．
（2）假如您打算买台25寸的国产彩色电视机，要想物美价廉，最佳价位是多少？
答：如上所述，要想确定最佳价格，我们得知道同一品牌的最高价与最低价，然后根据公式：(最高价位-最低价位)×0．618+最低价位=最佳价位．
以下是我们的调查结果

名牌	高档的价格(元)	低档的价格(元)	最佳的价格(元)
长虹彩电	1 350	1 280	1320
创维彩电	1 295	1100	1 221

（3）请问在夏季，人们为什么格外留恋春天的感觉？
答：人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与0．618的乘积为22．8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢､生理活动均处于最佳状态．
四､问题与建设
在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究．从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术､建筑甚至是人的饮食都可以起到作用．那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识．
在研究中，当然也会遇到各种无法预料的问题．刚开始，大家对于黄金数的知识都很缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘，而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏，网上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选，留下对课题研究有用的部分．在学习大量资料以后，我们渐渐了解了黄金数，我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用!既然知道了，我们就更应该在生活中使用黄金数，美化生活．

6 . 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体中二面角的余弦值；
（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）

7 . 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：

	15	20	25	30
	105	110	105	100

设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)利用问题（2）中的函数，求的最小值.

8 . 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与

(1)求异面直线与成角余弦值；
(2)求平面与平面的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.