1 . 已知函数，函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为______．

2 . 已知，定义．
（1）求函数的极值；
（2）若，且存在使，求实数的取值范围；
（3）若，试讨论函数的零点个数．

3 . 已知函数，其中．是自然对数的底数．
（1）若曲线在处的切线方程为．求实数的值；
（2）① 若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围；
② 若，．若对一切正实数恒成立，求实数的最大值（用表示）．

4 . 已知两个无穷数列分别满足，，
其中，设数列的前项和分别为，
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”，求；
②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.