1 . 已知点为圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设，，过点的直线与曲线交于点（异于点），过点的直线与曲线交于点，直线与倾斜角互补.
①直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②设与的面积之和为，求的取值范围.

2 . 对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________．

3 . 已知实数满足，,其中是自然对数的底数，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于,且,存在正实数,使得,试判断与的大小关系，并给出证明.

5 . 如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点在轴上，且在抛物线的准线上，点是椭圆E上的一个动点，面积的最大值为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过焦点作两条平行直线分别交椭圆E于四个点.

①试判断四边形能否是菱形，并说明理由；

②求四边形面积的最大值.

6 . 已知函数与有相同的极值点．
(1)求函数的解析式；
(2)证明：不等式（其中为自然对数的底数）；
(3)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线 的距离为3，椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线与椭圆交于点B(B不在y轴上)，垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若，且，求直线的方程．

8 . 已知函数，．
(1)求函数在（）上的最小值；
(2)若存在使得成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)设函数存在两个极值点，并记作，若，求正数的取值范围；
(3)求证：当时，（其中为自然对数的底数）

10 . 已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上点作椭圆的两条切线和，切点分别为，.
①若切点的坐标为，求切线的方程；
②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.