1 . 选用恰当的证明方法；解决下列问题.
(1)为实数，且，证明：两个一元二次方程，中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
(2)已知：，且，求证：

2 . 已知函数，．
(1)求证：函数为偶函数；
(2)集合，，若，求实数a的取值范围．

4 . 已知集合的子集个数为.
(1)求的值；
(2)若的三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是.

5 . 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，判断和是否为倒函数；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数.记，证明：是的充要条件.

6 . 已知集合，．
(1)若，均有，求实数的取值范围；
(2)若，设，，求证：是成立的必要条件．

8 . 已知集合，，且.
（1）用反证法证明；
（2）若，求实数的值．

9 . 设函数定义在R上，对于任意实数，恒有，且当时，
（1）求证：且当时，
（2）求证：在R上是减函数；
（3）设集合，，且，求实数的取值范围．

10 . 设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：① ②，其中，是与无关的常数.
(1)若是等差数列，是其前项的和，，试探究与集合之间的关系；
(2)设数列的通项为，且，的最小值为m，求m的值；
(3)在(2)的条件下，设，求证：数列中任意不同的三项都不能成为等比数列．