1 . 定义：设
和
均为定义在
上的函数，它们的导函数分别为
和
，若不等式
对任意实数
恒成立，则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①
和
②
和
，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
(2)若
是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，
，证明：和为“相伴函数”；
(3)
，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.
和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.(1)给出两组函数，①
和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；(2)若
是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；(3)
，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.
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名校
2 . 对于定义在
上的函数
如果同时满足以下三个条件：①
；②对任意
成立；③当
时，总有
成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：
命题
：若为“理想函数”，则对任意
，都有
；
命题
：若为“理想函数”，则对任意
，都有
成立.
则下列说法正确的是（ ）
上的函数如果同时满足以下三个条件：①；②对任意成立；③当时，总有成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有；命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.则下列说法正确的是（ ）
| A．命题､命题都是真命题 |
| B．命题为真命题，命题为假命题 |
| C．命题为假命题，命题为真命题 |
| D．命题､命题都是假命题 |
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16-17高一上·上海浦东新·阶段练习
名校
3 . 已知集合
，对于
的一个子集
，若存在不大于
的正整数
，使得对中的任意一对元素
，都有
，则称具有性质
．
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质？并说明理由；
(2)当时
，若集合具有性质，
①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．
，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．(1)当
时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；(2)当时
，若集合具有性质，①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；②求集合中
元素个数的最大值．
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2023-02-02更新
|
553次组卷
|
11卷引用：上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期第一次月考数学试题
（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期第一次月考数学试题上海市上海外国语大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题（已下线）上海高一上学期期中【压轴42题专练】（2）（已下线）第02讲 集合间的基本关系（4大考点7种解题方法）（3）上海市南洋模范中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）专题02集合之间的关系2-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高一(普通班)上学期阶段检测(六)数学试题（已下线）第一章 集合与常用逻辑用语（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题02 集合与常用逻辑用语常考压轴题型-2021-2022学年高一《新题速递·数学》（人教A版2019）北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中练习数学试题 （已下线）高一上学期期中【压轴60题考点专练】（必修一前三章）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）
名校
解题方法
4 . 已知
定义域为R的函数，若对任意
R，S，均有
，则称是S关联.
(1)判断和证明函数
是否是
关联？是否是
关联？
(2)若是{3}关联，当
时，
，解不等式：
；
(3)证明：“是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是
关联”.
定义域为R的函数，若对任意R，S，均有，则称是S关联.(1)判断和证明函数
是否是关联？是否是关联？(2)若
是{3}关联，当时，，解不等式：；(3)证明：“
是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
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名校
5 . 设集合
中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意
，若
，都有
；
②对于任意
，若
，则
．
(1)分别对
和
，求出对应的
；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．
中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意
，若，都有；②对于任意
，若，则．(1)分别对
和，求出对应的；(2)如果当S中恰有三个元素时，
中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4个元素，求
的元素个数．
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2022-11-07更新
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597次组卷
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3卷引用：上海市进才中学2023届高三下学期5月月考数学试题
6 . 若集合
且
，则称
构成
的一个二次划分.任意给定一个正整数
，可以给出整数集
的一个次划分
，其中
表示除以余数为
的所有整数构成的集合.这样我们得到集合
，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如
，（其中
为
除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过
定义倒数就可以了，但不是所有
中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（ ）
且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（ ）| A．能构成素域当且仅当是素数 | B． |
C． 是最小的素域（元素个数最少） | D． |
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名校
解题方法
7 . 已知数列
满足：①
（
）；②当
（
）时，
；当
（）时，
.记数列的前项和为
.
(1)求满足条件的所有
，
，
的值；
(2)若
，求的最小值；
(3)求证：
的充要条件是
（）.
满足：①（）；②当（）时，；当（）时，.记数列的前项和为.(1)求满足条件的所有
，，的值；(2)若
，求的最小值；(3)求证：
的充要条件是（）.
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名校
8 . 已知
是等差数列，
，存在正整数
，使得
，
.若集合
中只含有4个元素，则
的可能取值有（ ）个
是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个| A．2 | B．3 | C．4 | D．5 |
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2021-12-06更新
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1804次组卷
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7卷引用：上海市建平中学2022届高三上学期12月月考数学试题
上海市建平中学2022届高三上学期12月月考数学试题上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题山东省济宁市第一中学2024届高三下学期3月定时检测数学试题山东省济宁市第一中学2024届高三下学期4月质量检测数学试卷（已下线）专题4-1 三角函数性质、最值和w小题归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）专题1-1 集合题型归类-2（已下线）考点6-1 等差数列(文理）
名校
9 . 已知数列满足：当
时，
；当
时，
；对于任意实数，则集合
的元素个数为（ ）
满足：当时，；当时，；对于任意实数，则集合的元素个数为（ ）| A．0个 | B．有限个 | C．无数个 | D．不能确定，与的取值有关 |
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2021-11-23更新
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944次组卷
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4卷引用：上海市民办南模中学2022届高三下学期3月月考数学试题
上海市民办南模中学2022届高三下学期3月月考数学试题上海市上海中学2022届高三上学期期中数学试题（已下线）专题06数列必考题型分类训练-2（已下线）专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-1
名校
10 . 对正整数，记
，
.
（1）用列举法表示集合
；
（2）求集合
中元素的个数；
（3）若
的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.
，记，.（1）用列举法表示集合
；（2）求集合
中元素的个数；（3）若
的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.
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2021-10-17更新
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950次组卷
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6卷引用：上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题
上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）1.1 集合的运算(第4课时）上海市青浦高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）第1章 集合与逻辑（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题
