1 . 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；
(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．

4 . 已知集合是集合的一个含有8个元素的子集.
(1)当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
(2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

6 . 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

7 . 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是．

8 . 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．
(1)若，写出中与x正交的所有元素；
(2)令，若，证明：为偶数；
(3)若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素．

9 . 求证：点在直线上的充要条件是对空间任意一个确定的点，存在实数使得.

10 . 对于集合A，定义函数，对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f_A(x)f_B(x)＝﹣1}．
(1)若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，写出f_A(1)与f_B(1)的值，并求出A*B；
(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，(A*B)*C＝A*(B*C)．