1 . 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.

2 . 如图，在平面四边形中，.

(1)证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值.

3 . 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足①；②；③．
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
(2)若为线段上一点，且，，求的面积．

4 . 如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使平面平面.

（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离.

5 . 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，．
(1)证明：；
(2)若为线段上一点，且，，求的面积．

6 . （1）已知，化简：；
（2）已知，证明：．

7 . 已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：是，的等差中项；
（2）若，求的值.

8 . 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．
具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为．

则，由向量数量积的坐标表示，有．
设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，于是．
所以，也有；
所以，对于任意角有：．
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：

（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：．

9 . 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)证明：是，的等差中项；
(2)求A的最大值．

10 . 已知为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．