1 . 已知数列满足，，，且．记集合．
(1)若，求集合中元素的个数；
(2)①求证：，．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
(3)求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．

2 . 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．

3 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．

4 . 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.
(1)若，，求；
(2)若，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若，求数列的通项公式.

5 . 已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.

7 . 已知：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.
(1)判断数列：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；
(2)若具有性质，证明：；
(3)给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.

8 . 数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．
(1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记，若，证明：；
(3)若，求n的最小值．

9 . 设数列，即当时，．记．
(1)写出，，，；
(2)令，求数列的通项公式；
(3)对于，定义集合，求集合中元素的个数．

10 . 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．