1 . 学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.

2 . 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.

3 . 在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

4 . 已知数列满足：，
(1)求a₂，a₃；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前20项中所有奇数项的和．

5 . 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．

6 . 已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（1）求证：．
（2）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

7 . 已知各项均为正数的数列的前项和为，其中为常数.
(1)证明：；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列{a_n}的前n项和.
(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

9 . 在数列{a_n}中，a₁＝1，3a_na_n－1＋a_n－a_n－1＝0(n≥2，n∈N^*)．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

10 . 设S_n是数列{a_n}的前n项和且n∈N^*，所有项a_n＞0，且.
（1）证明：{a_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式.