1 . 若.
(1)求证:；
(2)令,写出的值,观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明:存在不等于零的常数，使是等比数列,并求出公比的值.

2 . 在数列中，，
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.

3 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：.

4 . 已知等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式.
(2)记数列的前项和为，证明.

5 . 已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若且，求数列的前项和.

6 . 已知数列中，是其前项和，并且，.
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.

7 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．

8 . 数列中，，，设．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，为数列的前n项和，求不超过的最大的整数．

9 . 等差数列的公差为，正项等比数列中
(1)求与
(2)令，证明：数列的前n项和

10 . 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列满足，记，证明：.