1 . 设等差数列的前项和为，则当______时，最大；使的的最大值为______．

2 . 已知数列满足，且，若（其中表示不超过的最大整数），则______；数列前2023项和______．

3 . 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关. 则某人在这项游戏中最多能过_________关；他连过前三关的概率是___________

5 . 十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设（为常数），则__________，__________.

6 . 如图，直线与相交于点，又直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，…，设点的横坐标构成数列，则= ______，数列的通项公式为________．

7 . 将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列表示第n次操作后余下的区间段长度．
（1）______；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是______．

8 . 已知数列的前n项和为，且有，．则______，数列的前n项和为，则______．

9 . 在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则________；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________．

10 . 已知在数列中，且，设，，则________，数列前n项和________．