1 . 已知数列满足，为数列的前项和.
（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.

2 . 已知数列满足，且当时，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，，证明：当时，．

3 . 在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝·a_n(n∈N^*).
（1）证明：数列是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n＝，若数列{b_n}的前n项和是T_n，求证：T_n＜2.

4 . 数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.

5 . 已知数列的首项，，、、．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

6 . 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.

7 . 观察下列三角形数表，数表（1）是杨辉三角数表，数表（2）是与数表（1）有相同构成规律（除每行首末两端的数外）的一个数表.

对于数表（2），设第行第二个数为（）（如，，）.
(1)归纳出与（，）的递推公式（不用证明），并由归纳的递推公式求出的通项公式；
(2)数列满足：，求证：.

8 . 已知数列满足（）
（1）求；
（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；
（3）求证能被15整除．

9 . 已知数列满足 ，且．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项；
（Ⅱ）若，且，求和 ；
（Ⅲ）比较与的大小，并予以证明．

10 . 已知数列满足：,，，（）．
（1）求证：是等差数列，并求出；
（2）证明：．