1 . 已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.

2 . 在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．

3 . 已知数列，，．
(1)证明：数列是单调递增数列；
(2)记，求的取值范围；
(3)记，试问是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

4 . 某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为．设第n代开粉红色花的概率为．
(1)求第2代开黄色花的概率；
(2)证明：．

5 . 已知数列满足：．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．

6 . 记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，证明：.

7 . （1）已知数列为等差数列，且，，求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.

8 . 已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．

9 . （1）已知数列满足，.
①证明：数列是等差数列；
②求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的通项公式.

10 . 已知数列满足：．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．