名校
解题方法
1 . 若
均为单位向量，下列结论中正确的是_______ （填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若
且
，且
，则
的取值范围为
；
（2）若且，且
，则的取值范围为
；
（3）若
且
对任意实数
恒成立，则
的最小值为
；
（4）若且对任意实数恒成立，则
的最小值为.
均为单位向量，下列结论中正确的是（1）若
且，且，则的取值范围为；（2）若
且，且，则的取值范围为；（3）若
且对任意实数恒成立，则的最小值为；（4）若
且对任意实数恒成立，则的最小值为.
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解题方法
2 . 如图，某正方体的顶点
在平面
内，三条棱
都在平面的同侧，若顶点
到平面的距离分别为
，2，3，则该正方体外接球的表面积为_____________ .
在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为
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名校
解题方法
3 . 如图，在正方体
中，
是棱
的中点，
是侧面
上的动点，且
平面
．设与平面所成的角为
与
所成的角为
，那么下列结论正确的是（ ）
中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 的最小值为 |
B．的最小值为 的最大值为 |
| C．的最小值大于的最小值大于 |
D．的最大值小于 的最大值小于 |
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4 . 已知空间向量
，
，
，
均为单位向量，且与
夹角为
，与夹角为
，则
的最大值为______ .
，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为
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名校
解题方法
5 . 正三棱锥
中，底面边长
，侧棱
，向量，满足
，
，则
的最大值为____________ .
中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为
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2024-04-01更新
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1056次组卷
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5卷引用：上海市浦东新区2024届高三下学期期中教学质量检测数学试卷
上海市浦东新区2024届高三下学期期中教学质量检测数学试卷（已下线）数学（上海卷01）（已下线）压轴小题5 空间向量中的最值问题江苏省姜堰中学2024届高三下学期阶段性测试（2.5模）数学试题（已下线）压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总-1
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解题方法
6 . 已知正四面体
的棱长为2，动点
满足
，且
，则点的轨迹长为_________ .
的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为
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2024-03-14更新
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893次组卷
|
2卷引用：上海市浦东新区上海师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
解题方法
7 . 如图一，矩形中，
交对角线
于点
，交于点
，现将
沿翻折至
的位置，如图二，点
为棱
的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A． | B． 平面 |
C． 平面 | D．平面 平面 |
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2024-01-14更新
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469次组卷
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19卷引用：专题01空间直线与平面（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）
（已下线）专题01空间直线与平面（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）河北省石家庄市第三十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）专题04平面与平面的位置关系（2个知识点8种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）浙江省云峰联盟2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题（已下线）第八章 立体几何初步 章末测试（提升）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.6.3平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）立体几何专题：折叠问题中的证明与计算5种题型（已下线）专题09 基本图形的平行与垂直-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）（已下线）第03讲 空间中平行、垂直问题10种常见考法归类（3）山西省运城市景胜中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（A卷）新疆阿克苏市实验中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点8 平面图形的翻折、旋转综合训练（已下线）专题8.13 立体几何初步全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列（已下线）13.2.4 平面与平面的位置关系（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题8.11 立体几何初步全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列（已下线）高一下学期期中复习选择题压轴题十七大题型专练（2）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）第8章 立体几何初步 单元综合检测（难点）-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.6.3平面与平面垂直——课后作业（基础版）（已下线）11.4.2平面与平面垂直-同步精品课堂（人教B版2019必修第四册）
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8 . 正方形
的边长为12，其内有两点、
，点到边
、
的距离分别为3，2，点到边
、
的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-01-04更新
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842次组卷
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7卷引用：上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题上海市松江二中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（一）江西省上饶市婺源天佑中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（已下线）专题2 用空间向量解决立体几何问题江西省临川第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（已下线）高二上学期期末考点大通关真题精选100题（1）
解题方法
9 . 若正三棱锥
的底面边长为6，高为
，动点P满足
，则
的最小值为__________ ．
的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为
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10 . 如图，长方体中，
，
，点是棱
的中点.
与
所成的角的大小；
(2)是否存在实数
，使得直线与平面
垂直？并说明理由；
(3)若
.设是线段上的一点（不含端点），满足
，求的值，使得三棱锥
与三棱锥
的体积相等.
中，，，点是棱的中点.
与所成的角的大小；(2)是否存在实数
，使得直线与平面垂直？并说明理由；(3)若
.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等.
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