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1 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体,有著名的欧拉公式:,其中为顶点数,为棱数,为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如,每个面都是四边形的凸六面体,我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面,每个面有4条边,六个面相加共24条边;另一方面,每条棱出现在两个相邻的面中,因此每条棱恰好被计算了两次,即共有12条棱;再根据欧拉公式,,可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:个顶点的凸多面体,至多有条棱;
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:个顶点的凸多面体,至多有条棱;
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 正四棱锥的外接球半径为R,内切球半径为r,求证:的最小值为.
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2024高三·全国·专题练习
3 . 如图,已知的直角边,点是从左到右的四等分点(非中点).已知椭圆所在的平面⊥平面,且其左右顶点为,左右焦点为,点在上.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
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名校
解题方法
4 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:若,则称为空间向量与的叉乘,其中,, 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以,,的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,已知,是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若,,求;
②证明.
(2)记的面积为 ,证明:.
(3)证明:的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
(1)①若,,求;
②证明.
(2)记的面积为 ,证明:.
(3)证明:的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
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2024-03-07更新
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888次组卷
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8卷引用:河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试(期末联考)数学试卷
河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试(期末联考)数学试卷江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题 河南省部分重点高中(青桐鸣)2023-2024学年高三上学期期末大联考数学试题(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)江苏省江都中学2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(已下线)第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点2 平面法向量求法及其应用(二)【培优版】(已下线)专题08 期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类-期末真题分类汇编(北师大版2019必修第二册)江苏省盱眙中学2023-2024学年高二下学期第一次学情调研数学试题
名校
5 . 如图,在三棱台中,在边上,平面平面,,,,,.(1)证明:;
(2)若且的面积为,求与平面所成角的正弦值.
(2)若且的面积为,求与平面所成角的正弦值.
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2024-03-01更新
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1434次组卷
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4卷引用:贵州省贵阳市第一中学2024届高三下学期一模考试数学试题
6 . 如图,四棱锥中,平面,四边形是直角梯形,其中,..
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)若平面内有一经过点的曲线,该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由;
(3)在平面内,设点Q是(2)题中的曲线E在直角梯形内部(包括边界)的、一段曲线上的动点,其中G为曲线E和的交点.以B为圆心,为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时,求四面体体积的取值范围.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)若平面内有一经过点的曲线,该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由;
(3)在平面内,设点Q是(2)题中的曲线E在直角梯形内部(包括边界)的、一段曲线上的动点,其中G为曲线E和的交点.以B为圆心,为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时,求四面体体积的取值范围.
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2024-01-11更新
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534次组卷
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3卷引用:上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期数学期末考试数学试卷
上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期数学期末考试数学试卷(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题七 空间范围与最值问题 微点3 面积、体积的范围与最值问题(一)【基础版】辽宁省部分名校2023-2024学年高二下学期5月质检数学试题
7 . 正多面体又称为柏拉图立体,是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令(均为正整数),我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重合,例如正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合,正面体的所有顶点可以与正面体的所有顶点重合,等等.
(1)当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时,求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值;
(2)当正面体在棱长为的正面体内,且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时,求正面体某一面所在平面截正面体所得截面面积;
(3)已知正面体的每个面均为正五边形,正面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.
(第一问答对得2分,第二问满分8分,两题均作答,以第一问结果给分)
第一问:求棱长为的正面体的表面积;
第二问:求棱长为的正面体的体积.
(1)当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时,求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值;
(2)当正面体在棱长为的正面体内,且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时,求正面体某一面所在平面截正面体所得截面面积;
(3)已知正面体的每个面均为正五边形,正面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.
(第一问答对得2分,第二问满分8分,两题均作答,以第一问结果给分)
第一问:求棱长为的正面体的表面积;
第二问:求棱长为的正面体的体积.
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2023-11-10更新
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557次组卷
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3卷引用:上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二上学期期中数学试题(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联合调研抽测数学试题
名校
解题方法
8 . 如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,.为的中点,点在上,且.
(2)在棱上是否存在点,使得点到平面的距离为,若存在求出点的位置,不存在请说明理由.
(1)求证:平面;
(2)在棱上是否存在点,使得点到平面的距离为,若存在求出点的位置,不存在请说明理由.
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2023-07-18更新
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2336次组卷
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6卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三上学期高考适应性测试(一)数学试题辽宁省部分名校2023-2024学年高二上学期联考数学试题(已下线)第11章 简单几何体(压轴必刷30题专项训练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题二 空间距离 微点3 点到平面的距离(二)【培优版】(已下线)高一下学期期末复习解答题压轴题二十四大题型专练(2)-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)
名校
解题方法
9 . 如图,四边形与均为菱形,,,,记平面与平面的交线为.
(2)证明:平面平面;
(3)记平面与平面夹角为,若正实数,满足,,证明:.
(1)证明:;
(2)证明:平面平面;
(3)记平面与平面夹角为,若正实数,满足,,证明:.
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2023-07-11更新
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1943次组卷
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5卷引用:四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图,在菱形中,,将沿翻折,使点A到点P处.E,F,G分别为,,的中点,且是与的公垂线.
(1)证明:三棱锥为正四面体;
(2)若点M,N分别在,上,且为与的公垂线.
①求的值;
②记四面体的内切球半径为r,证明:.
(1)证明:三棱锥为正四面体;
(2)若点M,N分别在,上,且为与的公垂线.
①求的值;
②记四面体的内切球半径为r,证明:.
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2023-07-04更新
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2086次组卷
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9卷引用:重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月调研考试(校级联考)数学试题四川省成都市树德中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性测试数学试题(已下线)专题01 空间向量及其运算压轴题(5类题型+过关检测)-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第一章 空间向量与立体几何(压轴题专练,精选20题)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第3章 空间向量及其应用(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)第3章 空间向量及其应用 单元综合检测(难点)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点4 翻折、旋转问题中的最值(一)(已下线)第四章 立体几何解题通法 专题二 体积法 微点2 体积法(二)【基础版】