名校
1 . 已知
，
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求证：对于
和
，且
，都有
；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
，．(1)求
在处的切线方程；(2)求证：对于
和，且，都有；(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
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名校
2 . 定义在
上的函数满足：若对任意的实数
，有
，则称为
函数．
（1）判断
和
是否为函数，并说明理由；
（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为
，且
，求证：关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根；
（3）设为函数，且
，定义数列
：
，
，证明：对任意
，有
．
上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．（1）判断
和是否为函数，并说明理由；（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；（3）设
为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．
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解题方法
3 . 设
为正整数，如果表达式
同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
，
；②
；③当
时，
（
）；④规定：当
时，
也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：
；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：；（3）对于任意正整数
，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
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解题方法
4 . 设无穷数列
的每一项均为正数，对于给定的正整数，
(
)，若
是等比数列，则称为
数列.
（1）求证：若是无穷等比数列，则是数列；
（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；
（3）设为数列，且满足
，请用数学归纳法证明：是等比数列.
的每一项均为正数，对于给定的正整数，()，若是等比数列，则称为数列.（1）求证：若
是无穷等比数列，则是数列；（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；（3）设
为数列，且满足，请用数学归纳法证明：是等比数列.
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2020-06-12更新
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487次组卷
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2卷引用：2020届上海市静安区高三第二次模拟数学试题
名校
解题方法
5 . 已知函数
，且存在
，使得
，设
，
，
，
．
（Ⅰ）证明
单调递增；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）记
，其前项和为
，求证：
．
，且存在，使得，设，，，．（Ⅰ）证明
单调递增；（Ⅱ）求证：
；（Ⅲ）记
，其前项和为，求证：．
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名校
6 . 设l为曲线C：
在点
处的切线.
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方；
（3）求证：
（其中
，
）.
在点处的切线.（1）求l的方程；
（2）证明：除切点
之外，曲线C在直线l的下方；（3）求证：
（其中，）.
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2020-03-05更新
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926次组卷
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2卷引用：四川省成都市第七中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题
7 . 已知数列
满足：，
，
.
（1）求
的值；
（2）设
，求证：数列
是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的
，
，在数列中是否存在连续的
项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.
满足：，，.（1）求
的值；（2）设
，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的
，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.
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名校
8 . 如果数列
对任意的满足：
，则称数列为“
数列”.
（1）已知数列是“数列”，设
，求证：数列
是递增数列，并指出
与
的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列是首项为
，公差为
的等差数列，是其前项的和，若数列
是“数列”，求
的取值范围；
（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较
和
的大小，并说明理由.
对任意的满足：，则称数列为“数列”.（1）已知数列
是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列
是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；（3）已知数列
是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.
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9 . 设是定义在R上的函数，对任意
恒有
.当
时，
，且
.
（1）求证：
；
（2）证明：
时恒有
；
（3）求证：在
上是减函数；
（4）若
，求的取值范围.
是定义在R上的函数，对任意恒有.当时，，且.（1）求证：
； （2）证明：
时恒有；（3）求证：
在上是减函数； （4）若
，求的取值范围.
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名校
解题方法
10 . 已知
（），
是关于的
次多项式；
（1）若
恒成立，求
和
的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数
，
，
，…，
，使得
．
（），是关于的次多项式；（1）若
恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数
，都存在与无关的常数，，，…，，使得．
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2016-12-03更新
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486次组卷
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2卷引用：2015届江苏省泰州市高三第二次模拟考试数学试卷
