名校
解题方法
1 . 若数列
满足：
，且
，则称为一个
数列．对于一个数列，若数列
满足：
，且
，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，
，写出其伴随数列中
的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求
的最大值．
满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．(1)若
数列中，，写出其伴随数列中的值；(2)若
为一个数列，为的伴随数列①证明：“
为常数列”是“为等比数列的充要条件；②求
的最大值．
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2023-12-11更新
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1240次组卷
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2卷引用：北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
名校
解题方法
2 . 已知定义在
上的函数
的图象连续不断，若存在常数
，使得
对于任意的实数
恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）A．函数 （其中 为常数， ）为回旋函数的充要条件是 |
B．函数 不是回旋函数 |
C．若函数 为回旋函数，则 |
D．函数是 的回旋函数，则在 上至少有1011个零点 |
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2023-12-03更新
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297次组卷
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2卷引用：安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期二调（12月）数学试题
名校
解题方法
3 . 对于数列定义
为的差数列，
为的累次差数列.如果的差数列满足
，
，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足
，
，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列
：2，4，8，10，14，16；
：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项
，
，
（
为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列
：
是“绝对差异数列”，且
.证明：
的充要条件是
.
定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.(1)设数列
：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；(2)若无穷数列
既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；(3)已知数列
：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
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名校
4 . 下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件 |
B．若 是 的必要不充分条件，是 的充要条件，则是的充分不必要条件 |
C．方程 有唯一解的充要条件是 |
D． 表示不超过的最大整数， 表示不小于的最小整数，则“ ”是“ ”的充要条件 |
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名校
解题方法
5 . 已知二次函数
.
(1)若等式
恒成立，其中，
，
为常数，求
的值；
(2)证明：
是方程
有两个异号实根的充要条件；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求
的最大值.
.(1)若等式
恒成立，其中，，为常数，求的值；(2)证明：
是方程有两个异号实根的充要条件；(3)若对任意
，不等式恒成立，求的最大值.
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2023-10-09更新
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745次组卷
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4卷引用：上海市莘庄中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
上海市莘庄中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高一上学期第二次质量检测（10月）数学试题上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
解题方法
6 . 若数列满足：
，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且
，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，
，
，
，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求
的最大值.
满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.(1)若X数列
中，，，，写出其伴随数列中的值；(2)若
为一个X数列，为的伴随数列. ①证明：“
为常数列”是“为等比数列”的充要条件；②求
的最大值.
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2023-08-16更新
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514次组卷
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5卷引用：北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末练习数学试题
北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末练习数学试题北京市第五中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）第4章 数列单元检测（提优卷）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（苏教版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
7 . 已知
是由非负整数组成的无穷数列．该数列前
项的最大值记为
，第项之后各项
的最小值记为
，
．
(1)若为
，是一个周期为
的数列（即对任意
，
），写出
，
，
，
的值；
(2)设d是非负整数．证明：
（
）的充分必要条件为
是公差为d的等差数列；
(3)证明：若
，
（
），则
的项只能是
或者
，且有无穷多项为．
是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．(1)若
为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；(2)设d是非负整数．证明：
（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；(3)证明：若
，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．
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8 . 记无穷数列的前n项中最大值为
，最小值为
，令
．
(1)若
，请写出
的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若
，求证：存在
，使得
，有
．
的前n项中最大值为，最小值为，令．(1)若
，请写出的值；(2)求证：“数列
是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；(3)若
，求证：存在，使得，有．
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2023-03-26更新
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471次组卷
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2卷引用：北京市清华附中2023届高三下学期3月调研数学试题
9 . 已知集合
，对于集合
的非空子集
．若中存在三个互不相同的元素，，，使得
，
，
均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合
，
是否为集合
的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，
，
，同时满足①
，②
，③
为偶数．那么称该集合具有性质
．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若
的任意含有
个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．(1)试判断集合
，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）(2)如果一个集合中含有三个元素
，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；(3)若
的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
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2023-03-21更新
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1009次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2023届高三一模数学试题
北京市丰台区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总（10、15、21题）专题01集合与常用逻辑（已下线）北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21北京卷专题02集合（解答题）（已下线）第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）
名校
10 . 已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆
交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（ ）
交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（ ）| A．充要条件 | B．充分不必要条件 |
| C．必要不充分条件 | D．既不充分也不必要条件 |
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