1 . 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.

2 . 已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.

3 . 定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.
(1)求证：函数是单峰函数；
(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.
（i）求证：；
（ii）求证：.
注：.

4 . 已知函数和的定义域分别是A和B，若函数和同时满足下列两个条件：
①对任意的，都有或对任意的，都有；
②存在，使得．
则称和互为“依偎函数”，记作，其中，叫做“依偎点”．
(1)是否存在有无数个“依偎点”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由；
(2)若函数，，是否存在k，使得如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
(3)求证：，其中．

5 . 已知抛物线的方程为，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．

6 . 根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．

7 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)若正整数互质，证明：；
(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．

8 . 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．

9 . 对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
(1)证明：；
(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；
(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．

10 . 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．