1 . 设，函数．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若，记的一个零点为，若，求证：．

2 . 已知函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)令，判断在上极值点的个数，并加以证明；
(3)令，定义数列. 当且时，求证:对于任意的，恒有.

3 . 设函数为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程,并证明 恒成立
（Ⅱ）当时，设是函数图像上三个不同的点，求证：是钝角三角形.

4 . 已知函数在点处的切线平行于直线．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：；
(3)若且，求证：．

9 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.