4 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．

5 . 已知函数.
（1）已知直线：，：若直线与关于对称，又函数在处的切线与平行，求实数的值；
（2）若，证明：当时，恒成立.

6 . 设函数的图象在处取得极值4.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数，若存在两个不等正数，，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.

7 . 已知函数，a为实数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.

8 . 2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔．我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件．
(1)求函数的解析式；
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大．

9 . 已知函数.
（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.

10 . 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：．