2023高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，记
；
(1)求实数
、
的值；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的范围；
(3)对于定义在
上的函数
，设
，
，用任意的
将划分为
个小区间，其中
，若存在一个常数
，使得
恒成立，则称函数为上的有界变差函数；
①试证明函数
是在
上的有界变差函数，并求出
的最小值；
②写出是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）
在区间上的最大值为，最小值为，记；(1)求实数
、的值；(2)若不等式
对任意恒成立，求实数的范围；(3)对于定义在
上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；①试证明函数
是在上的有界变差函数，并求出的最小值；②写出
是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）
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名校
解题方法
2 . 设函数
(a,
);
(1)若
,求证:函数
的图像必过定点;
(2)若
,证明:
在区间
上的最大值
;
(3)存在实数a,使得当
时,
恒成立,求实数b的最大值;
(a,);(1)若
,求证:函数的图像必过定点;(2)若
,证明:在区间上的最大值;(3)存在实数a,使得当
时,恒成立,求实数b的最大值;
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2020-02-10更新
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253次组卷
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2卷引用：上海市第二中学2017届高三上学期9月初态测试数学试题
名校
3 . 已知函数
，且
是定义在
上的奇函数．
（1）求实数t的值并判断函数的单调性（不需要证明）；
（2）关于x的不等式
在
上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若
在上有两个零点
，求证：
且
．
，且是定义在上的奇函数．（1）求实数t的值并判断函数
的单调性（不需要证明）；（2）关于x的不等式
在上恒成立，求实数b的取值范围；（3）若
在上有两个零点，求证：且．
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2020-01-09更新
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527次组卷
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2卷引用：天津市滨海新区2019-2020学年高一上学期期末数学试题
名校
4 . 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记
；
（1）求实数、的值；
（2）若不等式对任意
恒成立，求实数的范围；
（3）对于定义在上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；
①试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；
②写出是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）
在区间上的最大值为，最小值为，记；（1）求实数
、的值；（2）若不等式
对任意恒成立，求实数的范围；（3）对于定义在
上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；①试证明函数
是在上的有界变差函数，并求出的最小值；②写出
是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）
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2020-01-07更新
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428次组卷
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2卷引用：上海市控江中学2016-2017学年高三上学期第一次月考数学试题
名校
5 . 已知函数
的图象上有两点
，
．函数满足
，且
．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）能否保证
和
中至少有一个为正数？请证明你的结论．
的图象上有两点，．函数满足，且．（1）求证：
；（2）求证：
；（3）能否保证
和中至少有一个为正数？请证明你的结论．
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12-13高一上·北京·期中
6 . 定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数，都有
成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
（1）判断函数
是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设
，若
在上分别以
为上界，求证：函数
在上以
为上界；
（3）若函数
在
上是以
为上界的有界函数，求实数的取值范围.
上的函数 ，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.（1）判断函数
是否是有界函数，请写出详细判断过程；（2）试证明：设
，若在上分别以 为上界，求证：函数在上以为上界；（3）若函数
在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 我们把
（其中
，
）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元
次多项式方程（即
，
，
，…，
为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元
次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即
，其中k，
，
，
，
，……，
为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式
必可分解因式．例如：观察可知，
是方程
的一个根，则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
．
(1)解方程：
；
(2)设
，其中，，，
，且
．
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时，
．
（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．(1)解方程：
；(2)设
，其中，，，，且．（i）分解因式：
；（ii）记点
是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．
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解题方法
8 . 对于定义域为的函数，如果存在区间
，同时满足：①在
内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：
是函数
的一个“优美区间”；
(2)已知函数
（
，
）有“优美区间”，当变化时，求出
的最大值.
的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.(1)求证：
是函数的一个“优美区间”；(2)已知函数
（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.
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名校
9 . 已知函数
，（
，a为常数）．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)若函数有3个零点，求实数a的取值范围；
(3)记
，若
与
在
有两个互异的交点，且
，求证：
．
，（，a为常数）．(1)讨论函数
的奇偶性；(2)若函数
有3个零点，求实数a的取值范围；(3)记
，若与在有两个互异的交点，且，求证：．
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10 . 已知
，
(1)若函数
与在
时有相同的值域，求的取值范围；
(2)若方程
在
上有两个不同的根，求的取值范围，并证明：
．
，(1)若函数
与在时有相同的值域，求的取值范围；(2)若方程
在上有两个不同的根，求的取值范围，并证明：．
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