解题方法
1 . 已知函数
的定义域为
，若存在实数
，使得对于任意
都存在
满足
，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数
，
为“自均值函数”，求
的取值范围．
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(2)若函数
，为“自均值函数”，求的取值范围．
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名校
解题方法
2 . 临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数
和
，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为
，如果对于内任意两数
，都有
，则称
为上的凹函数；若
，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的
,有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设
，求W=
的最小值.
(2)设
为大于或等于1的实数，证明
（提示：可设
）
(3)若a>1，且当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.(1)设
，求W=的最小值.(2)设
为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）(3)若a>1，且当
时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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2024-03-06更新
|
250次组卷
|
2卷引用：山东省临沂第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
名校
3 . 正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100℃经过
后温度变为
℃，现给出以下三种函数模型：
①
；
②
；
③
．
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到
）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：
）
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：时间 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
水温 ℃ | 100 | 91 | 82.9 | 78.37 | 72.53 | 67.27 |
后温度变为℃，现给出以下三种函数模型：①
；②
；③
．(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到
）；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：
）
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2024-02-21更新
|
228次组卷
|
3卷引用：贵州省遵义市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题
4 . 已知
.
(1)求函数
的表达式；
(2)设函数
，求
的定义域.
.(1)求函数
的表达式；(2)设函数
，求的定义域.
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解题方法
5 . 已知函数 
(1)求的值域;
(2)判断并证明的单调性.
(1)求
的值域;(2)判断并证明
的单调性.
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解题方法
6 . 已知函数
．
(1)若
，且为奇函数，求
的值；
(2)若
，且的最小值为
，求
的最小值．
．(1)若
，且为奇函数，求的值；(2)若
，且的最小值为，求的最小值．
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7 . 已知函数
．
(1)当
，求函数的值域；
(2)解不等式
．
．(1)当
，求函数的值域；(2)解不等式
．
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解题方法
8 . 已知函数
，函数
.
(1)求证：方程
在区间
上有唯一的实数根；
(2)若存在实数，使得
，求实数
的取值范围.
，函数.(1)求证：方程
在区间上有唯一的实数根；(2)若存在实数
，使得，求实数的取值范围.
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9 . 已知函数
（
且
）是指数函数.
(1)求的解析式；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求的取值范围.
（且）是指数函数.(1)求
的解析式；(2)若不等式
对任意恒成立，求的取值范围.
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解题方法
10 . 已知二次函数
，且不等式
的解集为
.
(1)求的解析式；
(2)若
，求
的值域.
，且不等式的解集为.(1)求
的解析式；(2)若
，求的值域.
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