1 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若函数的导函数为，证明：.

3 . 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)判断在R上的单调性，并用定义证明；
(3)函数在R上恰有两个零点，求实数k的取值范围.

4 . 设函数，，（其中，）且是函数的极值点.
(1)求；
(2)函数恰有两个零点；
①求的取值范围；
②设为的极值点，为的零点，且，证明：.

6 . 已知函数，.
（1）若，判断函数的奇偶性（不需要给出证明）；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.

7 . 设二次函数.
(1)若是函数的两个零点，且最小值为.
①求证：；
②当且仅当a在什么范围内时，函数在区间上存在最小值?
(2)若任意实数t，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数a的取值范围.

8 . 已知函数存在两个零点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.

9 . 定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设函数，求证：；
（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点（）满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.

10 . 已知函数，.
（1）若，求证：；
（2）若有且只有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.