1 . 已知函数
，直线
是曲线
在
处的切线．
（1）求证：无论实数
取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线经过点
，试判断函数
的零点个数并证明．
，直线是曲线在处的切线． （1）求证：无论实数
取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线
经过点，试判断函数的零点个数并证明．
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2 . 已知函数
．
(1)求函数
的单调减区间；
(2)设
，求证：函数
在
上有唯一零点．
．(1)求函数
的单调减区间；(2)设
，求证：函数在上有唯一零点．
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名校
解题方法
3 . 设函数
.
(1)求函数在
上的单调区间；
(2)求证：函数
在
上有且只有一个零点
，并求
（
表示不超过
的最大整数，如
）.
参考数据：
.
.(1)求函数
在上的单调区间；(2)求证：函数
在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如）.参考数据：
.
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名校
解题方法
4 . 设函数
，
，
．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若
，
，使
成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如
，
）．
参考数据：
，
．
，，．(1)求函数
在上的单调区间；(2)若
，，使成立，求实数a的取值范围；(3)求证：函数
在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．参考数据：
，．
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2024-01-06更新
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629次组卷
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6卷引用：安徽省合肥市合肥一中肥东分校2023-2024学年高一上学期期末数学试题
5 . 一类项目若投资1元，投资成功的概率为
．如果投资成功，会获得
元的回报
；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的
，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为
，并提出了凯利公式．
(1)证明：当
时，使得平均回报率最高的投资比例满足凯利公式
；
(2)若
，
，求函数
在
上的零点个数．
．如果投资成功，会获得元的回报；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为，并提出了凯利公式．(1)证明：当
时，使得平均回报率最高的投资比例满足凯利公式；(2)若
，，求函数在上的零点个数．
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2024-01-17更新
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817次组卷
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5卷引用：安徽省六安市金寨第一中学2024届高三上学期期末适应性考试数学试题（二）
名校
6 . 已知函数，若在其定义域内存在实数和
，使得
成立，则称是“跃点”函数，且称是函数的“跃点”.
(1)求证：函数
是“1跃点”函数；
(2)若函数
在上是“1跃点”函数，求实数
的取值范围；
(3)是否同时存在实数
和正整数
，使得函数
在
上有2023个“
跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和，若不存在，请说明理由.
，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，且称是函数的“跃点”.(1)求证：函数
是“1跃点”函数；(2)若函数
在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；(3)是否同时存在实数
和正整数，使得函数在上有2023个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和，若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
7 . 函数
和
的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为
．
(1)指出图中曲线
分别对应哪一个函数（无需证明）；
(2)比较
的大小，并按从小到大的顺序用“<”连接起来；
(3)若
，其中a，b为整数，求a，b的值．
和的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为．(1)指出图中曲线
分别对应哪一个函数（无需证明）；(2)比较
的大小，并按从小到大的顺序用“<”连接起来；(3)若
，其中a，b为整数，求a，b的值．
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2022-12-17更新
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192次组卷
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3卷引用：安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题
8 . 已知函数
.
(1)若在
上是增函数，求实数的取值范围;
(2)若
，求证:
.
.(1)若
在上是增函数，求实数的取值范围;(2)若
，求证:.
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2022-09-01更新
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543次组卷
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3卷引用：安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题
名校
解题方法
9 . 若点
在函数的图象上，且满足
，则称是的
点．函数的所有点构成的集合称为的集．
(1)判断
是否是函数
的点，并说明理由；
(2)若函数
的集为
，求
的最大值；
(3)若定义域为的连续函数的集
满足
，求证：
．
在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．(1)判断
是否是函数的点，并说明理由；(2)若函数
的集为，求的最大值；(3)若定义域为
的连续函数的集满足，求证：．
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2022-07-07更新
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1875次组卷
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7卷引用：安徽省安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
名校
10 . 设函数
(1)当
时，求证：
(2)若有唯一零点，求正实数的取值范围.
(1)当
时，求证：(2)若
有唯一零点，求正实数的取值范围.
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