1 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

2 . 设，函数．
（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；
（2）已知．
（i）判断并证明函数的单调性；
（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围．

3 . 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.

4 . 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
(1)求函数的“稳定点”；
(2)求证：；
(3)若，且，求实数的取值范围．

5 . 已知为常数，函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；
(3)对于给定的，且，证明：关于的方程在区间内有一个实数根.

6 . 已知，
(1)若函数与在时有相同的值域，求的取值范围；
(2)若方程在上有两个不同的根，求的取值范围，并证明：．

8 . 对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.

9 . 已知函数，其中.
(1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；
(2)证明：当时，；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.

10 . 函数
(1)已知在上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若在定义域上是单调函数，满足，证明：．