1 . 已知函数(为常数),记.
(1)若函数在处的切线过原点,求实数的值;
(2)对于正实数,求证:;
(3)当时,求证:.
(1)若函数在处的切线过原点,求实数的值;
(2)对于正实数,求证:;
(3)当时,求证:.
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2 . 已知函数.
(1)当时,证明:有且仅有一个零点.
(2)当时,恒成立,求a的取值范围.
(3)证明:.
(1)当时,证明:有且仅有一个零点.
(2)当时,恒成立,求a的取值范围.
(3)证明:.
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3 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:对任意的,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:对任意的,.
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解题方法
4 . 对于函数,和,,设,若,,且,皆有成立,则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数,与是否“具有性质”,并说明理由;
(2)若函数,与“具有性质”,求的取值范围;
(3)若函数与“具有性质”,且函数在区间上存在两个零点,,求证.
(1)判断函数,与是否“具有性质”,并说明理由;
(2)若函数,与“具有性质”,求的取值范围;
(3)若函数与“具有性质”,且函数在区间上存在两个零点,,求证.
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5 . 已知,若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数,则的取值范围是______ .
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6 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若是的导函数,是的导函数,则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数,
①求函数在点处的曲率的平方;
②求函数的曲率的最大值.
(2)函数,若在两个不同的点处曲率为0,求实数的取值范围.
(1)已知函数,
①求函数在点处的曲率的平方;
②求函数的曲率的最大值.
(2)函数,若在两个不同的点处曲率为0,求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 已知关于的不等式恒成立,的最小值为,则的最小值为______ .(其中为自然对数的底数)
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名校
解题方法
8 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下:如果函数满足在闭区间连续,在开区间内可导,且,那么在区间内至少存在一点,使得.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
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2024高三下·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知函数,其中自然常数.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)当时,设函数的两个极值点为,且,求证:.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)当时,设函数的两个极值点为,且,求证:.
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2024高三·全国·专题练习
10 . 已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
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