名校
解题方法
1 . 如图,对于曲线,若存在圆满足如下条件:
①圆与曲线有公共点,且圆心在曲线凹的一侧;
②圆与曲线在点处有相同的切线;
③曲线的导函数在处的导数(即曲线在点的二阶导数)等于圆在点处的二阶导数(已知圆在点处的二阶导数等于);则称圆为曲线在点处的曲率圆,其半径称为曲率半径.
(2)(i)求证:平面曲线在点的曲率半径为(其中表示的导函数);
(ii)若圆为函数的一个曲率圆,求圆半径的最小值;
(3)若曲线在处有相同的曲率半径,求证:.
①圆与曲线有公共点,且圆心在曲线凹的一侧;
②圆与曲线在点处有相同的切线;
③曲线的导函数在处的导数(即曲线在点的二阶导数)等于圆在点处的二阶导数(已知圆在点处的二阶导数等于);则称圆为曲线在点处的曲率圆,其半径称为曲率半径.
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程;
(2)(i)求证:平面曲线在点的曲率半径为(其中表示的导函数);
(ii)若圆为函数的一个曲率圆,求圆半径的最小值;
(3)若曲线在处有相同的曲率半径,求证:.
您最近一年使用:0次
2 . 第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型,我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段,其弧长为,当动点从沿曲线段运动到点时,点的切线也随着转动到点的切线,记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差).显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当越接近,即越小,就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度,因此定义(若极限存在)为曲线在点处的曲率.(其中,分别表示在点处的一阶、二阶导数)(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3,则在该抛物线上点处的曲率是多少?
(2)若函数,不等式对于恒成立,求的取值范围;
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线,点的切线与轴的交点为.若,,是数列的前项和,证明.
(2)若函数,不等式对于恒成立,求的取值范围;
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线,点的切线与轴的交点为.若,,是数列的前项和,证明.
您最近一年使用:0次
名校
解题方法
3 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断,从几何上看,定积分便是由直线和曲线所围成的区域(称为曲边梯形)的面积,根据微积分基本定理可得,因为曲边梯形的面积小于梯形的面积,即,代入数据,进一步可以推导出不等式:.(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,证明:;
(2)已知函数,其中.
①证明:对任意两个不相等的正数,曲线在和处的切线均不重合;
②当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(2)已知函数,其中.
①证明:对任意两个不相等的正数,曲线在和处的切线均不重合;
②当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
您最近一年使用:0次
2024-03-13更新
|
1592次组卷
|
4卷引用:湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题
湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题安徽省淮南第二中学2023-2024学年高二下学期期中教学检测数学试题(已下线)湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题变式题16-19湖南省长沙市周南中学2024 届高三下学期第二次模拟考试数学试题
名校
4 . 已知函数.
(1)证明:恰有一个零点,且;
(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值,另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取,实施如下步骤:在点处作的切线,交轴于点:在点处作的切线,交轴于点;一直继续下去,可以得到一个数列,它的各项是不同精确度的零点近似值.
(i)设,求的解析式;
(ii)证明:当,总有.
(1)证明:恰有一个零点,且;
(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值,另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取,实施如下步骤:在点处作的切线,交轴于点:在点处作的切线,交轴于点;一直继续下去,可以得到一个数列,它的各项是不同精确度的零点近似值.
(i)设,求的解析式;
(ii)证明:当,总有.
您最近一年使用:0次
2024-03-03更新
|
1180次组卷
|
4卷引用:湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
5 . 已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点;
(2)讨论的单调性;
(3)若,求实数的取值范围.
(1)证明曲线在处的切线过原点;
(2)讨论的单调性;
(3)若,求实数的取值范围.
您最近一年使用:0次
2024-02-04更新
|
2268次组卷
|
5卷引用:湖北省十堰市郧阳中学2024届高三上学期期末数学试题
6 . 已知抛物线的焦点为F,M为抛物线上一点,且在第一象限内.过作抛物线的两条切线,,A,B是切点;射线交抛物线于.
(1)求直线的方程(用M点横坐标表示);
(2)求四边形面积的最小值.
(1)求直线的方程(用M点横坐标表示);
(2)求四边形面积的最小值.
您最近一年使用:0次
2024-01-29更新
|
870次组卷
|
2卷引用:湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题
7 . 已知函数,.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若有且仅有1个零点,求的取值范围.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若有且仅有1个零点,求的取值范围.
您最近一年使用:0次
2024-01-22更新
|
856次组卷
|
4卷引用:湖北省武汉市武昌区2024届高三上学期期末质量检测数学试题
湖北省武汉市武昌区2024届高三上学期期末质量检测数学试题广东省广州市培正中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(已下线)重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点(7题型+满分技巧+限时检测)(已下线)模块2专题8零点问题 方程图象练
8 . 已知抛物线C:()的准线方程为.动点P在上,过P作抛物线C的两条切线,切点为M,N.
(1)求抛物线C的方程:
(2)当面积的最大值时,求点P的坐标.(O为坐标原点)
(1)求抛物线C的方程:
(2)当面积的最大值时,求点P的坐标.(O为坐标原点)
您最近一年使用:0次
9 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上有两个不等的实数根,证明:.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上有两个不等的实数根,证明:.
您最近一年使用:0次
名校
10 . 已知,设函数,是的导函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在区间上存在两个不同的零点,.
①求实数的取值范围;
②证明:.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在区间上存在两个不同的零点,.
①求实数的取值范围;
②证明:.
您最近一年使用:0次
2023-05-14更新
|
1026次组卷
|
7卷引用:湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试(二)数学试题
湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试(二)数学试题福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题(已下线)专题19 导数综合-2河南省郑州市宇华实验学校2024届高三上学期期末数学试题(已下线)专题3 导数与函数的零点(方程的根)【讲】(已下线)专题8 导数与拐点偏移【讲】