1 . 设函数
，
为
的导函数，
，
.
（1）用a，b表示c，并证明：当
时，
；
（2）若
，
，
，求证：当
时，
.
，为的导函数，，.（1）用a，b表示c，并证明：当
时，；（2）若
，，，求证：当时，.
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2 . 已知等比数列
的前n项和为
，
，且
，
，
成等差数列.
(1)求
；
(2)设
，
是数列
的前n项和，求
；
(3)设
，
是
的前n项的积，求证：
，
．
的前n项和为，，且，，成等差数列.(1)求
；(2)设
，是数列的前n项和，求；(3)设
，是的前n项的积，求证：，．
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3 . 设函数
与
的定义域为
与
分别为函数与的导函数，若存在
，满足
且
，则称函数与为“优美函数”．已知函数
与
．
(1)已知
和
，求证：
和
；
(2)当
时，若函数
与
为“优美函数”，求
的取值范围；
(3)当
时，已知函数
与
为“优美函数”，求证：
．
与的定义域为与分别为函数与的导函数，若存在，满足且，则称函数与为“优美函数”．已知函数与．(1)已知
和，求证：和；(2)当
时，若函数与为“优美函数”，求的取值范围；(3)当
时，已知函数与为“优美函数”，求证：．
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解题方法
4 . 已知函数
.
(1)求
在
上的最大值和最小值；
(2)求证：当
时，函数的图象在函数
图象下方.
.(1)求
在上的最大值和最小值；(2)求证：当
时，函数的图象在函数图象下方.
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5 . 设实数且
，求证：
．
且，求证：．
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6 . 设实数且，求证：
．
且，求证：．
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7 . 已知函数
，其中，设函数的反函数为.
(1)记函数的导函数为
，函数的导函数为
，若存在
满足
，证明：
；
(2)若函数
与函数
的图象有两个交点，求的取值范围.
，其中，设函数的反函数为.(1)记函数
的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：；(2)若函数
与函数的图象有两个交点，求的取值范围.
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8 . 证明：对函数与任何常数C，都有
．
与任何常数C，都有．
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9 . 证明函数
与
没有驻点．
与没有驻点．
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10 . 设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数
，使得
对一切
恒成立，那么称函数具有性质
．
(1)求证：函数不具有性质；
(2)判别函数
是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．(1)求证：函数
不具有性质；(2)判别函数
是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
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2023-04-13更新
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645次组卷
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5卷引用：上海市奉贤区2023届高三二模数学试题
上海市奉贤区2023届高三二模数学试题（已下线）专题03 导数及其应用（已下线）专题04 三角函数与解三角形（已下线）重难点04导数的应用六种解法（2）吉林省延边朝鲜族自治州和龙市第一高级中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
