1 . 设点
在直线
上，点
在曲线
上，线段
的中点为
，
为坐标原点，则
的最小值为________ .
在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为
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解题方法
2 . 记
，
分别为函数
，
的导函数.若存在
，满足
且
，则称
为函数与的一个“S点”.
(1)证明：函数
与
不存在“S点”；
(2)若函数
与
存在“S点”，求实数
的值；
(3)已知
，
.若存在实数
，使函数与在区间
内存在“S点”，求实数
的取值范围.
，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.(1)证明：函数
与不存在“S点”；(2)若函数
与存在“S点”，求实数的值；(3)已知
，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
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2023-11-13更新
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424次组卷
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3卷引用：上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题
名校
解题方法
3 . 已知函数
，其导函数为
，
(1)若函数
有三个零点
，且
，试比较
与
的大小.
(2)若
，试判断在区间
上是否存在极值点，并说明理由.
(3)在（1）的条件下，对任意的
，总存在
使得
成立，求实数
的最大值.
，其导函数为，(1)若函数
有三个零点，且，试比较与的大小.(2)若
，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.(3)在（1）的条件下，对任意的
，总存在使得成立，求实数的最大值.
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2023-05-29更新
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724次组卷
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3卷引用：上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习数学试题
上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习数学试题上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题（已下线）第七章 导数与不等式能成立（有解）问题 专题四 双变量能成立（有解）问题的解法 微点3 双变量双函数能成立（有解）问题的解法（二）
名校
解题方法
4 . 已知点
，动点在函数
的图像上，动点
在以
为圆心半径为2的圆上，则
的最小值为___________ .
，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为
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解题方法
5 . 设函数
（其中是非零常数，
是自然对数的底），记
．
(1)求对任意实数
，都有
成立的最小整数
的值；
(2)设函数
，若对任意
，
，
都存在极值点
，求证：点
在一定直线上，并求出该直线方程；
(3)是否存在正整数
和实数，使
且对于任意
，
至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的
和，若不存在，说明理由．
（其中是非零常数，是自然对数的底），记．(1)求对任意实数
，都有成立的最小整数的值；(2)设函数
，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；(3)是否存在正整数
和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
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2022-12-15更新
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959次组卷
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3卷引用：上海市青浦区2023届高三一模数学试题
6 . 已知
，
(1)求函数
的导数，并证明：函数在
上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明
与
的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，
，
，求证：
是满足条件的唯一一组值.
，(1)求函数
的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；(2)根据（1），判断并证明
与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；(3)已知
、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
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2022-12-15更新
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802次组卷
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4卷引用：上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题
2017·安徽·一模
7 . 已知函数
，函数
.
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：
；
（Ⅲ）若函数与函数
的图像有且仅有一个公共点
，证明：
.
，函数.（Ⅰ）若曲线
与直线相切，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：
；（Ⅲ）若函数
与函数的图像有且仅有一个公共点，证明：.
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