1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知，，求证：函数存在极小值.

2 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对于任意，都有；
（3）若存在，且当时，，求证：.

3 . 理科已知函数，当时，函数取得极大值.
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

4 . 已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；
(2)通过计算用表示；
(3)当时，若函数的最小值为，证明：.

5 . 已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.

6 . 已知函数的两个极值点分别为2，3.
(1)求，的值，并求出函数的极值；
(2)已知，求证：不等式在上恒成立.

7 . 已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点；
②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.

9 . 已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，设．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．

10 . 已知函数和.
(1)求函数的极值；
(2)当时，求证：.