1 . 已知函数.
(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；
(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.

2 . 已知定义在上的函数和.
(1)求证：；
(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.

3 . 已知函数，.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，，.

4 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，若在区间内存在极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由．

5 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设分别是的极小值点和极大值点，记．
（i）证明：直线与曲线交于除外另一点；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．

7 . 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若是的一个极值，求满足此条件的实数的值；
(3)若是方程的两个不相等的实数根，求证：.
（注：是的导函数）

8 . 已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.

9 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)函数有两个极值点，，其中，求证：．

10 . 已知函数．
(1)求的极大值；
(2)若的极小值为，证明：．