1 . 设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：；
(3)设，记为不小于x的最小整数，例如，，．令，求的值．
（参考数据：，，，．）

2 . 已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)设，证明：．

3 . 已知函数，，．
(1)当时，证明：时，恒成立；
(2)若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；
(3)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．

(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．

5 . 设函数，其中，e为自然对数底数.
(1)若，求函数的最值；
(2)证明：当时，.

6 . 已知函数有两个零点，且，
(1)求的取值范围；
(2)证明：.

7 . 已知函数，.
(1)若，证明：当时，为增函数；
(2)若有解，求的最小值.

8 . 已知函数，是的极值点.
(1)求并讨论的单调性；
(2)设为两个不相等的正数，且，证明：.

9 . 已知函数（其中是自然对数底数）.
(1)求的最小值；
(2)若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）

10 . 已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当，若两个不相等的正数m，n，满足，证明：．