1 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

2 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．

4 . 已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是______．

5 . 已知函数（为自然对数的底数）．
(1)证明：当时，；
(2)①证明：在区间内有4个零点；
②记①中的4个零点为，，，，且，求证：．

6 . 已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设是函数的两个极值点.
①求实数a的取值范围；
②求证：.

7 . 设函数，，则下列说法正确的有（       ）

A．不等式的解集为；

B．函数在单调递增，在单调递减；

C．当时，总有恒成立；

D．若函数有两个极值点，则实数

8 . 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.

9 . 已知函数
（1）若在处的切线斜率为，求函数的单调区间；
（2）设，若是的极大值点，求的取值范围．

10 . 已知函数.
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）证明：当时，恒成立.