1 . 已知函数.
(1)求的极值.
(2)已知，且.
①求的取值范围；
②证明:.

2 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.

3 . 设函数．
(1)证明：；
(2)若函数有两个极值点．
①求实数的取值范围：
②证明：．

4 . 已知函数
(1)讨论 的单调性.
(2)证明:当时,
(3)证明:

5 . 设，函数，其中．
(1)讨论的零点个数；
(2)证明：对任意，都存在，使得．

6 . 已知函数
(1)若函数的最小值为0，求的值；
(2)证明：

7 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

8 . 已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)记曲线在处的切线为，求证：与有唯一公共点．

9 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数，，．
(1)求在上的中值点的个数；
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．
(3)当且时，证明：．

10 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个解，求证：.