1 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，时，.

2 . 函数.
(1)若函数在上存在极值，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数
(1)讨论 的单调性.
(2)证明:当时,
(3)证明:

4 . 设，函数，其中．
(1)讨论的零点个数；
(2)证明：对任意，都存在，使得．

6 . 已知函数
(1)若函数的最小值为0，求的值；
(2)证明：

7 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

9 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.

10 . 设且恒成立.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.